高中数学笔记（小抄）(持续更新中……)

此处只会列出最精华的公式、结论部分，基本知识和解题技巧请熟稔于心！

一、最最最重要的三角公式

万能公式

$ \sin^2\alpha=\frac{\tan^2\alpha}{\tan^2\alpha+1} $

$ \cos^2\alpha=\frac{1}{\tan^2\alpha+1} $

$ \sin\alpha\cos\alpha=\frac{\tan\alpha}{\tan^2\alpha+1} $

$ \sin\alpha+\cos\alpha=\pm \sqrt{\frac{(\tan\alpha+1)^2}{\tan^2\alpha+1}} $

$ \sin\alpha-\cos\alpha=\pm \sqrt{\frac{(\tan\alpha-1)^2}{\tan^2\alpha+1}} $

$ \tan^2\alpha=\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha} $

辅助角公式

$ a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi) $

其中$\tan\varphi=\frac{b}{a}$ ，不等式形式取等时$\tan\alpha=\frac{a}{b}$

诱导公式口诀（SZY版）

加减$\pi$，$\sin,\cos$变

加减负号，$\sin,\tan$变

加$\frac{\pi}{2}$，$\sin,\tan$变

减$\frac{\pi}{2}$，$\cos,\tan$变

二倍角公式

$\begin{align} \\ \sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} \\ \\ \cos 2\alpha &= 2\cos^{2}\alpha-1 \\ &= 1-2\sin^{2}\alpha \\ &=\cos^{2}\alpha-\sin^{2} \alpha \\ &=(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha) \\ &=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha} \\ \\ \tan 2\alpha &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha} \end{align}$

半角公式

$ \sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2} $

$ \cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2} $

$ \tan^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} $

和差角公式

$\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$ \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta} $

*三倍角公式

$ \sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha $

$ \cos 3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha $

$ \tan 3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^{2}\alpha} $

*积化和差、和差化积

$\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]$

$\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]$

$\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]$

$\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]$

$ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $

$ \cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $

一些奇怪的公式

$ 1\pm \sin 2\alpha=(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2 $

$ \tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $

$ 4\sin\alpha\cdot\sin(\frac{\pi}{3} -\alpha)\cdot\sin(\frac{\pi}{3} +\alpha)=\sin3\alpha $

$ 4\cos\alpha\cdot\cos(\frac{\pi}{3} -\alpha)\cdot\cos(\frac{\pi}{3} +\alpha)=\cos3\alpha $

$ \tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)\cdot\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\cdot\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=1 $

象限图

二、数列相关

常见裂项、放缩

$ \frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right) $
$ \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) $
$ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) $
$ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+k}}=\frac{1}{k}\left(\sqrt{n+k}-\sqrt{n}\right) $
$ \sum^{n}_{i=1}\left(2i-1\right)=n^2 $
$ \sum^{n}_{i=1} i^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2=\left(\sum^{n}_{i=1} i\right)^2 $
$ \frac{1}{2^n-1}\le\frac{1}{2^{n-1}} $
$ \frac{1}{(2n-1)^2}<\frac{1}{4n(n-1)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) $
$ \frac{1}{n^3}<\frac{1}{n(n^2-1)}={1 \over 2}\left[\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)}\right] $
$ 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<{1\over \sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) $
$ \frac{2n-1}{2n}<\sqrt{\frac{2n-1}{2n+1}}, \frac{2n}{2n-1}>\sqrt{\frac{2n+1}{2n-1}}$
$ \frac{n^2}{4n^2-1}={1\over 4}+{1\over 8}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) $
$ \frac{1}{n\sqrt{n}}<2\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) $
$ n\cdot n!=(n+1)!-n! $
$ \frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!} $
$ {1\over \sqrt{n}}<\sqrt{2}(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}) $

不动点法

暂略

等比数列与等差数列相乘

[ ] 错位相减（最垃圾的方法，不用管它）
[ ] 背公式（太复杂）
[x] 待定系数法（熟练运用）
[x] 裂项（最好的方法，必须会）

三、排列组合

各类基本方法

不多解释

小球入盒模型

环形染色问题

$ ans=(m-1)(-1)^n+(m-1)^n $

四、基本不等式

*均值不等式

$\begin{array}{c} 若a_{n}\ge 0，\\ H_{n}=\frac{n}{\sum \limits_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}}= \frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}}+ \cdots + \frac{1}{a_{n}}} \\ G_{n}=\sqrt[n]{\prod \limits_{i=1}^{n}a_{i}}= \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}} \\ A_{n}=\frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}a_{i}=\frac{a_{1}+ a_{2}+ \cdots + a_{n}}{n} \\ Q_{n}=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}= \sqrt{\frac{a_{1}^{2}+ a_{2}^{2}+ \cdots + a_{n}^{2}}{n}} \\ H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n} \end{array}$

均值不等式的二元形式

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

均值不等式二元形式变形

~~（写在小抄上就很方便）~~

$\left\{ \begin{aligned} a+b\ge&2\sqrt{ab} \\ a+b\ge&\frac{4}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \\ a+b\le&\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned} \right.$ $\left\{ \begin{aligned} ab\le&\frac{(a+b)^2}{4} \\ ab\ge&\frac{4}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2} \\ ab\le&\frac{a^2+b^2}{2} \end{aligned} \right.$ $\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge&\frac{4}{a+b} \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge&\frac{2}{\sqrt{ab}} \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge&\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} \right.$ $\left\{ \begin{aligned} a^2+b^2\ge&\frac{(a+b)^2}{2} \\ a^2+b^2\ge&2ab \\ a^2+b^2\ge&\frac{8}{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2} \end{aligned} \right.$

其他不等式

（待更新）
1.柯西
2.排序
3.切比雪夫
4.卡尔松

五、立体几何&平面几何（主要是三角形）

体积万能公式

$ V=\frac{1}{6}\left(S_{顶}+S_{底}+4S_{中}\right)h $

三角形秦九韶公式

$ S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2} $
(注意此式为三元对称式)

斯特瓦尔特定理

$d=\sqrt{\frac{a^2y+b^2x}{x+y}-xy}$

(看清楚公式和图再记，$a^2y+b^2x$千万别搞错)

一些三角形小定理

$ \Delta ABC中，a^2=b(b+c)\Leftrightarrow A=2B $

$ S_{\Delta ABC}=\frac{c^2}{2}\cdot\frac{\tan A\tan B}{\tan A+\tan B} $

$ \Delta ABC中，2b=a+c \Leftrightarrow \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}=\frac{1}{3}$

正四面体相关

$ S_{截}=\frac{\sqrt{2}}{4}a^2, S_{表}=\sqrt{3}a^2, V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 $
$ h=\frac{\sqrt{6}}{3}a, r=\frac{\sqrt{6}}{12}a, R=\frac{\sqrt{6}}{4}a $

对棱中点连线长$\frac{\sqrt{2}}{2}a$

线面角：$\sin\theta=\frac{\sqrt{6}}{3}, \cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}, 1:\sqrt{2}:\sqrt{3} $

二面角：$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}, \cos\alpha=\frac{1}{3}, 1:2\sqrt{2}:3 $

三射线定理&SZY线面角终极公式

三射线定理：$\angle AOC=\alpha, \angle AOB=\beta,\angle BOC=\theta, 二面角C-OA-B=\gamma, 则：$

$\cos\gamma=\frac{\cos\theta-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}$

SZY线面角终极公式：$\cos\angle AOH_2=a, \cos\angle AOH_3=b, \cos\angle COD=c, 则： $

$\cos\angle AOH_1=\sqrt{\frac{a^2+b^2-2abc}{1-c^2}}$

其他公式

四面体$ABCD$对棱$AB、BD$所成角为$\alpha$，则：

$\cos\alpha=\frac{\left|AB\right|^2+\left|CD\right|^2-\left|AD\right|^2-\left|BC\right|^2}{2\left|AC\right|\cdot\left|BD\right|}$

$AC、BD$距离为$d$, 则

$V_{ABCD}=\frac{\left|AC\right|\left|BD\right|d\sin\alpha}{6}$

六、解析几何

常用结论

☆1.点$(x_1,y_1)$关于直线$Ax+By+C=0$的对称点坐标：

$\left(x_1-\frac{2A(Ax_1+By_1+C)}{A^2+B^2},y_1-\frac{2B(Ax_1+By_1+C)}{A^2+B^2}\right)$

垂足坐标：

$\left(x_1-\frac{A(Ax_1+By_1+C)}{A^2+B^2},y_1-\frac{B(Ax_1+By_1+C)}{A^2+B^2}\right)$

2.直线$Ax+By+C=0$关于点$(x_0,y_0)$对称的直线方程为：

$Ax+By-2(Ax_0+By_0)-C=0$

*3.直线$A_1x+B_1y+C_1=0$关于直线$A_0x+B_0y+C_0=0$对称的直线：

$(A_1A_0^2-A_1B_0^2+2B_0B_1A_0)x+(B_1B_0^2-B_1A_0^2+2A_0A_1B_0)y+(2A_1A_0C_0+2B_1B_0C_0-C_1A_0^2-C_1B_0^2)=0$

☆4.以点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$为端点的线段的中垂线为：

$2(x_1-x_2)x+2(y_1-y_2)y+(y_2^2-y_1^2+x_2^2-x_1^2)=0$

5.点$(x_1,y_1)$关于点$(x_0,y_0)$顺时针旋转$\theta$所得点：

$\left((x_1-x_0)\cos\theta+(y_1-y_0)\sin\theta+x_0,(x_1-x_0)\cos\theta+(y_1-y_0)\sin\theta+y_0\right)$

6.三角形“七心”

$\begin{array}{c} 重心G\left(\frac{\sum x_A}{3},\frac{\sum y_A}{3}\right)\\ 内心I\left(\frac{\sum ax_A}{\sum a},\frac{\sum ay_A}{\sum a}\right)\\ 垂心H\left(\frac{\sum\frac{ax_A}{\cos A}}{\sum\frac{a}{\cos A}},\frac{\sum\frac{ay_A}{\cos A}}{\sum\frac{a}{\cos A}}\right)\\ 内心I\left(\frac{\sum x_A\sin2A}{\sum\sin2A},\frac{\sum y_A\sin2A}{\sum\sin2A}\right)\\ 三个旁心略 \end{array}$